수학 좌표계의 종류 (직교좌표게, 원통좌표계, 구면좌표계)

안녕하세요? 오늘은 수학에서 자주 쓰이는 대표적인 좌표계에 대하여 알아보도록 하겠습니다.

가장 대표적인 3차원 좌표계를 알아보도록 할 것 입니다.

이 세가지는 직교좌표계, 원통좌표계, 구면좌표계 입니다.

다들 한번씩은 보거나 들어보셨을 것 입니다.

각각 상황에 따라서 유용한 것이 다르기 때문에 잘 알아두신다면 유용할 것 입니다.

차례

1. 직교좌표계

2. 원통좌표계

3. 구면좌표계

1. 직교좌표계

가장 대표적이고 많이 사용하는 좌표계입니다.

좌표계는 x,y,z로 구성되어 있고 이들은 각각 독립적입니다.

즉, 하나의 변수가 다른 변수의 영향을 주지 않습니다.

i, j, k 벡터는 각각 축의 방향을 나타내는 방향벡터로써 크기가 없고 방향만 있는 단위벡터 입니다.

이렇게 단위벡터를 이용하여 직교좌표계에서 벡터를 표시할 수 있습니다.

2. 원통좌표계

원통좌표계는 극좌표계에 높이를 더한 것 이라고 보면 됩니다.

극좌표계를 3차원 공간으로 나타낸 것 입니다.

원통좌표계의 좌표는 r, θ, z로 표현됩니다.

x = rcosθ, y = rsinθ, z = z의 관계를 가지며 좌표계를 r, θ, z로 표현합니다.

위에 식을 보면 알 수 있듯이 r, θ는 서로 종속관계에 있습니다.

즉, 하나의 값이 변하면 다른 하나의 값에 영향을 끼치게 됩니다.

원통좌표계의 경우에는 한 축을 중심으로 대칭성을 가지는 경우에 유용합니다.

가령 직교좌표계에서 x^2+y+2 = r 이라고 표현되는 것이 원통좌표계에서는 r = c 로 표현됩니다.

원통좌표계의 단위벡터는 다음과 같이 나타냅니다.

앞서 말했듯이 r, θ 는 서로 종속 관계에 있다는 것을 알 수 있습니다.

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3. 구면좌표계

구면좌표계도 원통좌표계와 같이 극좌표계를 3차원 공간으로 확장한 것 입니다.

구면좌표계의 경우에는 구대칭이 있는 경우에 아주 유용하게 사용할 수 있습니다.

구면좌표계는 r, θ, Φ로 표현됩니다.

r은 원점에서 부터 구면까지의 거리를 나타냅니다.

θ는 원점에서 양의 방향의 z축과 이루는 각도입니다.

Φ는 z축을 중심으로 x축과 이루는 각도입니다.

직교좌표계를 구면좌표계로 고치면 다음과 같습니다. 위 식을 보면 알 수 있듯이,

r, θ, Φ 각각의 변수들은 서로 종속 관계에 있습니다.

구면좌표계의 경우에는 같은 점을 표현하는 식이 다양하게 표현될 수 있습니다.

(1, 0°, 45°), 과 (-1, 180°, 270°) 같이 여러 표현 방법이 있을 수 있다는 점이 있습니다.

이번에는 가장 대표적인 좌표계에 대하여 알아보았습니다.

보통은 직교좌표계를 많이 사용하지만 특수한 경우에는 원통좌표계나 구면좌표계를 사용하는 경우가 더 쉬울 수 있습니다.

기본적으로는 직교좌표계, 극좌표계에서 발전한 방식입니다.

이러한 좌표계에 대한 개념을 알아두면 동역학과 같은 역학문제를 풀 때 유용하게 사용하실 수 있습니다.

감사합니다.